G0 Z5

X[#R0] Y0

G1 Z-2.0 F200

WHILE[#R0 LE #Rmax] DO1

#X = [COS[#ang] * #R0]

#Y = [SIN[#ang] * #R0]

G1 X#X Y#Y F300

#ang = [#ang + #dang]

#R0 = [#R0 + #dr]

END 1

(замыкающий круг)

#ang0 = #ang

WHILE[#ang LE [#ang0 + 360]] DO2

#X = [COS[#ang] * #Rmax]

#Y = [SIN[#ang] * #Rmax]

G1 X#X Y#Y F300

#ang = [#ang + #dang]

END 2

G0 Z5

M30

--------

#1 = 10.0 (начальный радиус)

#2 = 50.0 (конечный радиус)

#3 = 0.05 (приращение радиуса на шаг)

#4 = 0.0 (угол)

#5 = 5.0 (шаг угла в градусах)

G21 G90

G0 Z5

X[#1] Y0

G1 Z-2.0 F200

WHILE[#1 LE #2] DO1

#6 = [COS[#4] * #1]

#7 = [SIN[#4] * #1]

G1 X#6 Y#7 F300

#4 = [#4 + #5]

#1 = [#1 + #3]

END 1

(замыкающий круг)

#8 = #4

WHILE[#4 LE [#8 + 360]] DO2

#6 = [COS[#4] * #2]

#7 = [SIN[#4] * #2]

G1 X#6 Y#7 F300

#4 = [#4 + #5]

END 2

G0 Z5

M30

Итак, поперечное сечение рулона, как правило, описывается спиралью Архимеда. При этом ставится условие, что поперечное сечение втулки является окружностью, а зазоры между витками отсутствуют. Следует отметить, что спираль Архимеда не обладает постоянным шагом, если под этим понимать длину отрезка нормали к любой паре соседних витков в любой точке. Иными словами, если записать уравнение спирали Архимеда как:

то задействовав переход к декартовым координатам с последующим вычислением тангенса угла наклона касательной (производная), получим, что:

Разрешением этого обстоятельства было бы использование кривых Бертрана или в данном случае, учитывая фактор плоской задачи, эквидистантные кривые, но в первом приближении забьём на это обстоятельство и поработаем с Архимедом.

Длина полотна в рулоне (при соблюдении различных условий) или в данной задаче длина спирали Архимеда рассчитывается по известной формуле:

Как же неудобно оформлять, но ладно.

Обратим внимание, что в нашем варианте уравнения спирали имеется постоянный член, грубо говоря, отвечающий за наличие втулки. Упростим расчёты с аргументацией типа "она и так не является параллельной, что нам эти дельты по переменным в точке перехода ловить?", для чего установим следующий подход к вычислению длины:

1. Задать радиус втулки,

2. Задать внешний радиус рулона,

3. Найти длину спирали Архимеда для обоих радиусов,

4. Подсчитать разность.

В таком случае, получим следующую формулу:

Славная формула, но вдруг можно упростить? Согласно быстро найденным данным, примем толщину бумаги, то есть шаг спирали, равным 0.1 мм (шаг спирали равен 2*pi*h). Зададимся диаметром втулки, равным 35 мм, в таком случае для первого угла получим значение примерно 1100 рад. Это значение отличается от sqrt(1100^2+1) примерно на 4.55e-4, что составляет не более 0.000042% от 1100. Нетрудно догадаться, что для большего радиуса разность станет ещё меньше. В противовес можно заявить о толщине бумаги, но строить поверхность разностей в зависимости от толщины бумаги и радиуса... будем.

Есть начало обоснования в пользу упрощения выведенной ранее формулы. Искать ещё аргументацию не будем кто как хочет, хех. Упростим формулу длины:

Перейдём к радиусам и введём переменную d, являющуюся толщиной бумаги. После упрощений получим:

Итак, по этой формуле можно оценить длину бумаги в рулоне. Отметим, что некоторые онлайн калькуляторы рулона используют эту формулу без второго слагаемого, что в ряде ситуаций обосновано. Например, для рулона офсетной бумаги с внешним диаметром 1000 мм, диаметром втулки 76 мм и толщиной 100 мкм, второе слагаемое равно примерно 0.02 мм.

Обратимся к первому слагаемому. Нетрудно заметить, что определение длины через него фактически базируется на представлении поперечного сечения рулона как множество концентрических окружностей и том факте, что с ростом количества витков форма внешнего витка спирали всё больше приближается к окружности (доказывается тривиально, достаточно рассмотреть отношение минимального и максимального расстояния от центра до витка).

Несложно вывести обратную формулу, то есть расчёт внешнего радиуса рулона в зависимости от длины. Для формулы только с первым слагаемым всё довольно просто, для двух слагаемых необходимо выполнить некоторые преобразования:

Полученное уравнение относительно R2 является трансцендентным, то есть оно не алгебраическое. И тут на сцену выкатывается тяжёлая артиллерия в виде W-функции Ламберта, позволяющей записать решение некоторого множества трансцендентных уравнений. Она определяется через функциональное уравнение следующим образом:

Используем её для нашего уравнения, для чего выполним преобразования:

Надо отметить, что если аргумент W-функции окажется большим, то имеет смысл задействовать асимптотику функции.

В сущности, всё зависит от коэффициента b. В результате получим следующее:

Вот это уже пойдёт. Пример. Воспользуемся онлайн калькулятором и зададим внутренний диаметр (втулка) 35 мм, внешний — 90 мм, а толщина равна 100 мкм. Сайт даёт длину, равную 53.99612373 м (следует отметить, что как раз один из найденных онлайн калькуляторов посчитал по упрощённой формуле без слагаемого с логарифмом). Применим обратную формулу и найдём модуль разности между исходным значением внешнего радиуса и рассчитанным. Получим достаточно малую величину 5.3189e-06 мм. Расчёты подтвердились.

Формулы красивые, выводил их (по расчёту радиуса от длины) лет десять назад. Всем раздать формулы.

Интеграл хороший. Канал не веду, так что в телеграм не приглашаю.

P. S. Всем качественных рулонов и да прибудет с вами сила математики.

P. P. S. Можно, конечно, построить куда более сложную модель и развлекаться там. Пс-сс, как насчёт задания толщины бумаги как стохастической функции и расчётов плоскопараллельной задачи из области сопромата?